B. Elabora un resumen sobre los conceptos básicos de la teoría de probabilidades
Gracias a un caballero llamado, Antón Gambó, y Pascal, se descubrió la probabilidad.
Antón le preguntó a Pascal, si era mejor sacar un 6, en 4 tiradas con un dado, o sacar al menos, 1 vez, dos 6 al tirar dos dados 24 veces.
Pascal le respondío que la primera era mejor, porque la probabilidad es de 0,52, mientras que la probabilidad de la segunda opción es de 0,49.
La probabilidad es la posibilidad de que un suceso ocurra, es un experimento aleatorio.
Un experimento aleatorio es aquel que no se puede predecir, antes de que se realice.
Aunque si se pueden conocer todos los resultados posibles, antes de que se lleve a cabo, esto se llama el espacio muestral, E.
Además a cada uno de esos resultados se le llama suceso elemental.
Un suceso, es cualquier subconjunto del espacio muestral.
Los sucesos se pueden clasificar de diversas maneras: suceso seguro y suceso imposible, suceso contrario, unión e intersección,.
Cuando dos sucesos tienen la misma probabilidad de ocurrir al realizar un experimento aleatorio se dicen equiprobables.
B. Realiza la simulación del lanzamiento de un dado
utilizando alguna hoja de cálculo (Excel, Calc, etc.). Comprueba la Ley
de Los Grandes Números para un número de tiradas muy grande. AYUDA: - Para generar el resultado de forma aleatoria puedes usar la función ALEATORIO.ENTRE - Para hacer el recuento utiliza la función CONTAR.SI
C. Resuelve 5 problemas clásicos de cálculo de
probabilidades utilizando la Regla de Laplace (dados, cartas, extracción
de bolas de una bolsa, etc.) Problema 1: Se sacan dos bolas de una urna que se
compone de una bola blanca, otra roja, otra verde y otra negra. Escribir
el espacio muestral cuando:
a) La primera bola se devuelve a la urna antes de sacar la segunda.
E = BB, BR, BV, BN, RB, RR, RV, RN, VB, VR, VV, VN, NB, NR, NV y NN.
b) La primera bola no se devuelve. E = BR, BV, BN, RB, RV, RN, VB, VR, VN, NB, NR y NV.
Problema 2: Una urna tiene ocho bolas rojas, cinco amarillas y siete verdes. Si se extrae una bola al azar calcular la probabilidad de:
a) Sea roja.
Probabilidad es: 8/20 = 0,4
b) Sea verde.
Probabilidad es: 7/20 = 0,35
c) Sea amarilla.
Probabilidad es: 5/20 = 0,25
d) No sea roja.
Probabilidad es: 12/20 = 0,6
e) No sea amarilla
Probabilidad es: 15/20 = 0,75 Problema 3: Una urna contiene tres bolas rojas y
siete blancas. Se extraen dos bolas al azar. Escribir el espacio
muestral y hallar la probabilidad de los sucesos:
a) Con reemplazamiento. E = RB, RR, BR y BB.
La probabildad de RB: 3/10 por 7/10 = 21/100 = 0,21
La probabildad de RR: 3/10 por 3/10 = 9/100 = 0,09
La probabildad de BR: 7/10 por 3/10 = 21/100 = 0,21
La probabildad de BB: 7/10 por 7/10 = 49/100 = 0,49
b) Sin reemplazamiento. E = RB, RR, BR y BB.
La probabilidad de RB: 3/10 por 7/9 = 21/90 = 0,23
La probabildad de RR: 3/10 por 2/9 = 6/90 = 0,067
La probabildad de BR: 7/10 por 3/9 = 21/90 = 0,23
La probabildad de BB: 7/10 por 6/9 = 42/90 = 0,47
Problema 4: Se extrae una bola de una urna que
contiene 4 bolas rojas, 5 blancas y 6 negras, ¿cuál es la probabilidad
de que la bola sea roja o blanca? ¿Cuál es la probabilidad de que no sea
blanca?
La probabilidad de que sea roja o blanca es de: 9/15 = 0,6
La probabilidad de que NO sea blanca es de: 10/15 = 0,67
Problema 5: En una clase hay 10 alumnas rubias,
20 morenas, 5 alumnos rubios y 10 morenos. Un día asisten 45
alumnos, encontrar la probabilidad de que un alumno:
a) Sea hombre.
La probabilidad es de: 15/45 = 0,33
b) Sea mujer morena.
La probabilidad es de: 20/45 = 0,44
c) Sea hombre o mujer.
La probabilidad es 1
Problema 6: Un dado está trucado, de forma que las
probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los
números de estas. Hallar:
a) La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21p
6 por 1/21 = 6/21
La probabilidad es de 6/21 = 0,28
b) La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.
1 + 3 + 5 = 9
9 por 1/21 = 9/21
La probabilidad es de 9/21 = 0,43 Problema 7: Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:
a) La probabilidad de que salga el 7.
1 con el 6, 2 con el 5, 3 con el 4, 4 con el 3, 5 con el 2 y 6 con el 1.
La probabilidad es de: 6/36 = 0,17
b) La probabilidad de que el número obtenido sea par.
La probabilidad es de 18/36 = 0,5 c) La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.
1 con el 2, 1 con el 5, 2 con el 1, 2 con el 4, 3 con el 3, 3 con el 6, 4 con el 2, 4 con el 5, 5 con el 1, 5 con el 4, 6 con el 3, y el 6 con el 6.
1. ¿Cómo se representa matemáticamente las sucesiones? Término enésimo, término general, suma de número de términos, etc.
Las sucesiones matemáticamente se representan:
Se llama sucesión a un conjunto de números dispuestos uno a continuación de otro.
a1, a2, a3 ,..., an
Los números a1, a2 , a3 , ...; se llaman términos de la sucesión.
El subíndice indica el lugar que el término ocupa en la sucesión.
El término generales an , es un criterio que nos permite determinar cualquier término de la sucesión.
IMPORTANTE:
No todas las sucesiones tienen término general. Por ejemplo, la sucesión de los números primos:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,...
El término enésimo es un número que ocupa una posición indeterminada en una sucesión.
Suma de número de términos:
En una progresión aritmética
Se llamará Sn a la suma a1 + a2 + ... + an
Se tiene entonces:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an - 2 + an - 1+ an
despejando:
Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de
una progresión aritmética sino para sumar cualquier término consecutivo (n).
Un ejemplo de sucesión es la sucesión de Fibonacci, que dice que los dos primeros términos son unos y los demás se obtienen sumando los dos términos anteriores.
Un dato de las sucesiones es que una sucesión es inversible o invertible, si todos sus términos son distintos de cero.
2.- ¿Cuál es el término general de una progresión aritmética? ¿Podrías deducirlo?
El término general de una progresión aritmética depende de:
Si conocemos el primer término...
an = a1 + (n - 1) · d
Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la progresión...
an = az + (n - z) · d
3. ¿Cómo sumó Gauss los 100 primeros números naturales? ¿Podrías llegar a una fórmula?
Sí.
4. ¿Cuál es el término general de una progresión geométrica? ¿Podrías deducirlo?
El término general de una progresión geométrica es una expresión que permite obtener cualquier término, sabiendo el lugar que ocupa.
Los pasos a seguir para calcular el término general de una progresión geométrica son:
Observa que cada término es igual al anterior por la razón.
Observa que todos los términos se pueden expresar dependiendo del primero.
Observa la relación que hay entre la posición de cada término y el número a que está elevada la razón.
Fórmula del término general an=a1*r(n-1)
5. La leyenda del rey Sirham de la india del ajedrez. Explica su relación con las progresiones.
Una antigua leyenda cuenta que el rey Sirham, soberano de la India, era muy rico y a la vez envidiado por su poder, sin embargo, su riqueza era tan inmensa como su aburrimiento y, debido a ello, era un tirano con su pueblo.
Un buen día, un sabio brahmán, Lahur Sissa, con el fin de enseñarle a tratar bien a sus súbditos, buscó la forma de crear un juego donde el rey, a pesar de ser la pieza principal, nada pudiera hacer sin la ayuda de los demás. Lo llamó, Chaturanga, el antepasado del ajedrez. Sorprendido por la ingeniosidad de este juego, Sirham, dió su palabra a Sissa de no molestar más al pueblo y se comprometió a ofrecerle lo que pidiese. Sissa, queriendo darle una nueva lección, pidió que le recompensara con la cantidad de trigo que resultase al poner un grano en la primera casilla, dos en la segunda, cuatro en la tercera, ocho en la cuarta y así sucesivamente siempre doblando la cantidad.
El soberano, estimando que el tablero tenía sesenta y cuatro casillas y que la recompensa no sobrepasase un saco de trigo, le concedió la petición. Sin embargo, después de haber hecho los cálculos, resultó que todo el trigo de la India no era suficiente para recompensar a Sissa, pues se necesitaban nada menos que 18.446.744.073.709.551.615 granos de trigo, si se considera que 21.000 granos pesan un kilo, lo que se debería haber entregado al inventor eran 878.416.384.462 toneladas, cantidad muy superior a la que se podría sembrar considerando toda la superficie de la Tierra.
Sissa fue nombrado primer ministro y cuenta la leyenda que orientando a su rey con sabios y prudentes consejos y distrayéndole con ingeniosas partidas de ajedrez, prestó los más grandes servicios a su pueblo.
La relación que tiene esta leyenda con las progresiones, es que el tablero en el que se juega a "Chaturanga"tiene 64 casillas y en cada una va doblando la cantidad de 2 en 2.
6. ¿Cómo podemos sumar los granos de trigo de la leyenda anterior?
1. Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.
a < b + c
a > b - c
2. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.
A + B + C =180º
3. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos también son iguales.
Tipos:
Los triángulos se clasifican en dos grandes grupos: según sus lados y según sus lados.
Según sus lados son:
Equiláteros → todos sus lados son iguales.
Isósceles → dos lados son iguales y uno es diferente.
Escalenos → todos sus lados son diferentes.
Según sus ángulos son:
Acutángulo → sus tres ángulos son agudos, es decir, miden menos de 90º.
Rectángulo → un ángulo mide 90º y los otros dos son agudos (< 90).
Obtuso → uno de sus ángulos mide más de 90º, y los otros son agudos.
1.2 Rectas y puntos notables en el triángulo
Incentro:
Es el punto central del triángulo, en el que todas las bisectrices coinciden.
A parte, es el centro de una circunferencia que está dibujada en el triángulo.
Baricentro:
Es el punto en el que coinciden las medianas del triángulo.
Una mediana: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Circuncentro:
Es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo, también es el punto de intersección de las mediatrices del triángulo.
Una mediatriz: es la recta perpendicular a un lado que pasa por el punto medio del mismo.
Ortocentro:
Es el punto en el que coinciden las tres alturas del triángulo.
La altura: es el segmento que comienza desde un vértice y es perpendicular al lado opuesto a dicho vértice.
Este es un ejemplo muy práctico de los 4 puntos notables de un triángulo:
1.3 El Teorema de Pitágoras
Esta fue la frase que dijo Pitágoras, el gran filósofo y matemático, que marcó el mundo de las matemáticas:
Teorema de Pitágoras
En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
Pitágoras
Este teorema fue comprobado por Pitágoras en el siglo VI a.C.
Lo que dice éste es que si queremos calcular la hipotenusa (a) de un triángulo rectángulo, lo único que tenemos que hacer es sumar los catetos al cuadrado cada uno (b y c) y hacer la raíz cuadrada de éstos.
a (al cuadrado) = b (al cuadrado) + c (al cuadrado)
a = raíz cuadrada de b (al cuadrado) + c (al cuadrado)
Un ejemplo:
Una curiosidad:
Se estima que otra persona lo haya descubrido antes de Pitágoras.
1.3.1 Demostración gráfica
1.3.2 El teorema en 3D
1.4 El teorema de Tales
Uno de los vídeos que explican muy bien, y con un toque cómico, es el vídeo de Les Luthiers - Teorema de Tales:
Y con este teorema...¿cómo podemos calcular la altura de un árbol a partir de su sombra?
¡Lo único que hay que hacer es una regla de tres!
Un ejemplo (según la imagen de abajo):
1,5 es a 2,25 como x es a 12. Si la resolvemos bien, daría como resultado 8 m.
2. Lugares geométricos
2.1 ¿Qué es un lugar geométrico?
Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen determinadas condiciones o propiedades geométricas.
Algunos lugares geométricos son:
Circunferencia.
Elipse.
Parábola.
Hipérbola.
2.2 La mediatriz y la bisectriz
La mediatriz de un segmento es una línea recta, que es perpendicular a dicho segmento, trazada por su punto medio.
Otro nombre que tiene la mediatriz es simetral.
Siendo f la mediatriz:
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta, que pasa por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes iguales.
Las bisectrices de un triángulo coinciden en su incentro.
2.3 Las cónicas
2.3.1 ¿Qué es una cónica?
Una cónica es una curva plana, que surge a partir de las diferentes intersecciones entre un cono y el plano, es decir, es una curva obtenida al cortar el cono con un plano. El ángulo que forma el plano con el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono, determina las distintas clases de cónicas.
Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola, hipérbola y circunferencia.
2.3.2 La circunferencia
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano, que tienen la misma distancia a un punto. Es decir, que todos los puntos que forman la circunferencia, están a la misma distancia del centro.
Un ejemplo: La circunferencia es la Tierra.
2.3.3 La elipse
La elipse es un lugar geométrico de todos los puntos de un plano, cuya suma de las distancias a otros dos puntos fijos, llamados focos, es constante, es decir, que no varía.
Otra definición de elipse es que es una curva plana, simple y cerrada.
La elipse fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se atribuye a Apolonio de Pérgamo.
Un ejemplo: La elipse es la trayectora de los planetas alrededor del Sol.
Obtención en un cono
Lo primero que debemos hacer es dibujar un círculo (nombre del centro; C)y un punto (A) en el interior del círculo. Después tenemos que dibujar un punto (B) y trazar la perpendicular a AB. El conjunto de dichas
rectas envuelve a un elipse. Cuanto más cerca esté A de C, más parecida a
una circunferencia será la elipse obtenida.
Método del jardinero
A este método se le denomina "del jardinero" porque sirve para trazar en el suelo elipses de gran tamaño y precisión suficiente, con medios modestos.
Lo que quiere decir el método del jardinero es que se atan los dos extremos de un hilo a dos chinchetas clavadas en los focos, y se mantiene el hilo tenso con un lapicero mientras vamos deslizándolo. La curva trazada corresponde con una elipse.
Mesa de billar elíptica
El billar elíptico se trata de una mesa de billar en la que las bandas rectas han sido sustituidas por una única banda contínua de forma elíptica. Es un dispositivo presente en algunos museos de ciencia que ya había fabricado, entre otras ideas ingeniosas, Lewis Carrol (autor de Alicia en el País de las Maravillas). Su característica principal es que cualquier bola lanzada desde un foco, o que pase por él, acaba pasando por el otro foco después de rebotar en la banda.
2.3.4 La hipérbola
Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano
tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos
puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida cortando un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría, y con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.
Obtención en un cono
Lo primero que debemos hacer es dibuja un círculo (nombre del centro C) y un punto A exterior a la
circunferencia. Se dibuja otro punto (Q) y se traza la perpendicular AQ. La familia de rectas obtenida es la envolvente de
una hipérbola. Las perpendiculares C1 y C2 ,las circunferencias que pasan
por A son las asíntotas de la hipérbola, rectas a las que la hipérbola
se acerca en el infinito.
La lámpara hiperbólica
Muchas personas tienen en sus casas lámparas con pantalla, esas que normalmente se usan en las mesas de luz de las habitaciones, que al estar
encedidas crean un cono de luz hacia arriba y otro hacia abajo, los
cuales forman sobre la pared dos figuras con forma de hipérbole.
Las figuras sobre la pared, formadas por la luz de la lámpara, se pueden
reproducir experimentalmente tomando las medidas de cualquier lámpara
del tipo de lámpara que tengamos en casa y de su posición relativa a la pared.
2.3.5 La parábola
Una parábola es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano, cuyo ángulo de inclinación respecto al eje del cono sea igual al de su generatriz. El plano resultará paralelo a dicha recta. Se define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan (se ponen a la misma distancia) de una recta llamada directriz, y un punto exterior a ella llamado foco.
Aquí os dejo un ejemplo de las parábolas en la vida común: Por ejemplo al botar un balón de baloncesto.
Obteción en un cono
Lo primero que debemos de hacer es dibujar una recta cualquiera (A) y un punto (X) no situado en
ella. Desde cualquier punto (Z) de la recta, trazamos la perpendicular a XZ. La cantidad suficiente de rectas así construidas envuelven a una
parábola con foco en el punto X.
La antena parabólica
La antena parabólica es un tipo de antena que se caracteriza por llevar
un reflector parabólico, cuya superficie en realidad es un paraboloide de
revolución.
Las antenas parabólicas pueden ser de tres tipos:
Transmisoras.
Receptoras.
Full dúplex.
El horno solar
El horno solar es una estructura que usa energía solar concentrada para producir altas temperaturas, usualmente para usos industriales. Reflectores parabólicos o helióstatos concentran la luz sobre un punto focal. La temperatura en este punto, puede alcanzar los 3500 °C, y este calor puede ser usado para
generar electricidad, fundir acero, fabricar combustible de hidrógeno o
nanomateriales...
El horno solar más grande es el horno solar de Odeillo, que está situado en Font-Romeu-Odeillo-Via, que se sitúan en Francia. Y fue inaugurado en 1970.
El espejo parabólico
Un espejo parabólico, es aquel que tiene una forma de antena parabólica, o cuyo perfil es similar a una parábola (y = x²). Sus características son iguales a las de un espejo esférico. Pero, a diferencia de éstos, un espejo parabólico tiene la particularidad, de que todos los rayos que
llegan paralelos al eje óptico, se reflejan pasando por el foco.
3. Movimientos en el plano
3.1 Las traslaciones y ¿qué es un vector?
La traslación es un movimiento directo de uno o varios puntos, que mantienen la forma y el tamaño de las figuras.
Un vector es un elemento que transporta uno o varios puntos, de un lugar a otro. Sin cambiar su forma, tamaño...
3.2 Ejercicios de vectores y traslación
3.2.1 Dados los vectores u = (4, 3) y v (-1, 4), hallar:
a. Su representación gráfica en un sistema de coordenadas
b. los vectores u + v y u - v por la regla del paralelogramo
c. las componentes de los vectores anteriores
d. el módulo de cada uno de los vectores
3.2.2 Dibuja las figuras trasladadas de las siguientes en una traslación de vector guía u (4,3)
3.3 Giros
3.3.1 Ejercicio: Escribe la inicial de tu nombre y haz varios giros con ella.
3.4 Simetría ejercicios
3.4.1 Dado el triángulo de vértices A (-2, 2), B (6, -1) y C (7, 5) se pide:
a. Dibujar el triángulo
b. Hallar el triángulo simétrico respecto del centro de simetría O (0, 0)
c. Hallar el triángulo simétrico del eje OX
3.4.2 Euclides (aproximadamente 300 a. C.) enunció las leyes de reflexión de la luz sobre un espejo plano. Herón de Alejandría, 400 años después, afirmó algo más sencillo: "La luz ha de tomar siempre el camino más corto". Sirviéndote de esta idea, halla en que punto del espejo se ha de reflejar un rayo de luz que parte del punto A para que después llegue a B.
3.4.3 Carlos y Fernando están jugando al billar. En un determinado momento las bolas se encuentran en las posiciones indicadas por el dibujo. Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda MQ golpee a la bola B.
Indica el camino que debe seguir la bola A para que rebotando en la banda NP y PQ golpee a la bola B.
3.4.4 Inventa un abecedario simétrico y escribe una frase
Frase: Me llamo Lucía
3.5 Frisos, mosaicos y cenefas
Frisos: El friso es el conjunto de moldurasquecoronan un edificio,situadaentre el arquitrabe y la cornisa. Éste a su vez es una larga banda decorativa pintada, esculpida o caligrafiada.
Mosaicos: El mosaico es un conjunto de pequeñas piezas, llamadas teselas, que forman una obra decorativa.
La relación que tienen los mosaicos con las matemáticas es que las teselas forman figuras geométricas, simetrías,giros...
Por ejemplo, la imagen está formada por pentágonos rojos, azules y amarillos.
Cenefas: La cenefa es un mosaico construido mediante traslaciones de distintas figuras.
3.6 MC. Escher
MC. Esther fue un artista neerlandés, que nació en Leeuwarden, en los Países Bajos, el 17 de junio de 1898, y murió el 27 de marzo de 1972, en Hilversum, Países Bajos.
Este artista es conocido por sus grabados xilográficos, es decir, unos grabados que se realizaban con planchas de madera...
También es conocido por sus dibujos, que contienen figuras imposibles, teselados y varios mundos imaginarios.
Algunas obras de las más importantes de Escher son:
(Three Spheres II) Tres esferas II
(Waterfall) Cascada
(Relativity) Relatividad
4. Resumen de áreas y volúmenes de figuras conocidas
5. La esfera y el globo terráqueo
5.1 Elementos principales de la esfera
(estas partes pertenecen a la esfera, NO AL CÍRCULO)
Centro: es el punto en el que coincide cualquier línea que dibujes desde la esfera.
Radio: es la distancia que hay desde el centro a cualquier punto de la esfera. Es decir, es la mitad de la distancia del diámetro.
Cuerda:es el segmento que une dos puntos de la superficie.
Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro.
Polos: son los puntos del eje de giro que quedan sobre la superficie esférica.
5.2 Elementos de la esfera terrestre
Los paralelos: son los círculos formados por la intersección entre la Tierra y un plano imaginario, perpendicular al eje de rotación de la Tierra.
Los meridianos: son los semicírculos que pasan por el Polo Norte y el Polo Sur.
5.3 Los husos horarios, la hora local solar y oficial.
El huso horario, en geografía, es cada una de las 24 áreas en que se divide la Tierra.
Se llaman así porque tienen forma de huso de hilar.
Todos los husos horarios se definen en relación con el denominado tiempo universal coordinado (UTC), huso horario centrado sobre el meridiano de Greenwich, también conocido como meridiano cero).
Un dato curioso es que hay que suma una hora, cuando la Tierra gira de oeste a este, y pasa de un huso horario a otro (en dirección este). Habría que restar una hora, cuando la Tierra girara de este a oeste.
5.4 El método de Eratóstenes para calcular el diámetro de la circunferencia terrestre
Un vídeo que puede ayudarte a comprender este punto es este:
Lo que hizo Erastótenes fue poner una estaca en un país (Siena) a una hora determinada para que no se formase su propia sombra.
Y también puso otra , en otro lugar (Alejandría), sitio en el que a esa hora hacía sombra.
Y con esos datos fue capaz de calcular el diámetro de la Tierra.
RETOS:
Te reto a que con el Teorema de Tales, averigues la altura que tendrá un árbol, sabiendo que su sombra es de 5m y una estaca, mide m y su sombra es de 3m.
También te reto a que sepas decirme la diferencia que hay entre un cilindro y un cono.
Te doy una pista muy grande, tiene que ver el volumen...
1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?
Puedo expresar la relación entre dos magnitudes con :
Una fórmula.
Ejemplo: 3x = y
Una gráfica.
Ejemplo:
Una tabla.
Ejemplo:
Lenguaje natural.
Ejemplo: La altura de un árbol es el doble que el de al lado.
2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:
Una función es la relación que hay entre dos magnitudes.
Puedo expresar las relaciones entre magnitudes de distintas maneras: por fórmulas, gráficas, tablas, lenguaje natural...
Algunos ejemplos de funciones en la vida cotidiana son:
3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.
La tasa de variación de una función, también llamada TV, es el número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor (x1) a otro valor (x2).
Para calcular la tasa de variación lo que tenemos que hacer es dividir "b roja" (la vertical del triángulo) entre "a roja" (la horizontal del triángulo).
Los valores que toma para las funciones crecientes son:
Y los valores que toma para las funciones decrecientes son:
4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.
La diferencia entre máximo / mínimo absoluto y relativo es que en el máximo o mínimo absoluto, la ordenada de la función, es mayor o igual en cualquier otro punto del dominio de la función, mientras que en el máximo o mínimo relativo, la ordenada de la función es mayor o igual que a otros puntos.
Es decir, el máximo absoluto es el punto más alto de la función. El mínimo relativo es el punto más bajo de la función. El máximo relativo es un punto alto de la función, pero no el máximo. El mínimo relativo es un punto bajo, pero no el que más.
5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de cordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.
Respecto al eje y:
En una función simétrica respecto al eje de coordenadas (eje y) el lado derecho tiene que ser siempre igual al lado izquierdo.
Respecto al origen (0,0):
En una función simétrica respecto al eje (0,0) si trazas una línea, el lado derecho de ésta, tendría que ser igual al lado izquierdo.
6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.
Se denomina una función periódica porque es una función que cumple esta fórmula f(x+p) = f(x), siendo p el período.
7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?
La diferencia que hay es que la función continua, se representa sin separaciones y la función discontinua, se representa con separaciones.
8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?
El origen del término función es en el siglo XVII, exactamente en el año 1637, por René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Ellos establecieron la función como "dependencia entre dos cantidades variables".
La primera función la llevo a cabo Galileo (1564- 1642) cuando tiró desde la Torre de Pisa dos bolas (una de hierro y otra de madera). Lo que pasó es que las dos llegaron a la vez, en ese momento descubrió la ley de caída de los pesos.
En el año 1748, Leonhard Euler, dió una definición más formal a la función.
PARTE 2 (ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES)
9. Representa graficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades. Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.
a. Función lineal creciente:
Siendo A: (-4.98, -2.74)
Siendo B: (1.48, 4.08)
b. Función lineal constante:
Siendo A: (-5, 3)
Siendo B: (5, 3)
c. Función lineal decreciente:
Siendo A: (-4, 5)
Siendo B: (4,-2)
d. Rectas paralelas:
Siendo A: (-3.48, 5) Siendo B: (5, 5)
Siendo C: (-4, 1) Siendo D: (5, 1)
e. Función cuadrática cóncava:
f. Función cuadrática convexa:
g. Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones:
En matemáticas, la gráfica de una función
es un tipo de representación gráfica que permite conocer
el comportamiento de dicha función.
Las únicas funciones que se pueden trazar de forma que no varíe mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas.
Las coordenadas cartesianas, también llamadas coordenadas rectangulares, son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos*.
Los espacios euclídeos son espacios geométricos en los que se satisfacen los axomas de Euclides. (Algunos ejemplos de espacios euclídeos, de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. son: la recta real, el plano euclídeo, y el espacio tridimensional dela geometría euclidiana.)
(*Euclídeo esel término que se utiliza para distinguir entre espacios curvos, de espacios relacionados con la teoría de la relatividad de Eisntein).
10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.
Las coordenadas polares, también llamadas sistemas polares, son un sistema de coordenadas bidimensional, es decir, que tiene dos dimensiones, en el que cada punto del plano, se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es el más utilizado en física y en trigonometría.
Esta imagen es un ejemplo de una función en coordenadas polares:
11. Utilizando uno de los programas anteriores investiga sobre la representación gráfica de funciones en el espacio (x,y ,z).
z = x2 + y2
Este tipo de funciones, que es muy común, se conoce como paraboloide.
Un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones.
Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos.
Cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo, son paraboloides elípticos.
Cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario, son paraboloides hiperbólicos.
12. Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente:
3x - 2y = 4
2x + 3y = 33
13. Elige un modelo de coche que disponga de motorizaciones diesel y gasolina y realiza un estudio gráfico de la función coste que nos permita averiguar cual es el automóvil más adecuado para nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el precio del coche, el del combustible y el consumo combinado).
Motor de gasolina:
Modelo: Ford Focus 1.6
Combustible: gasolina.
Consumo mixto específico: 6 litros cada 100 km.
Precio de adquisición: 17.850 €
Motor diésel:
Modelo:Ford Focus 1.6
Combustible: gasoil.
Consumo mixto específico: 4.5 litros cada 100 km.
Precio de adquisición: 19.615 €
A partir de los 9000 km, te sale más rentable comprarte el coche de gasolina. Pero si vas a hacer muchos más kilómetros, te sale más rentable comprarte el coche de diesel.
14. Interpreta la gráfica del recorrido del Maratón Popular de Madrid.
En los primeros 5 kilómetros, hay una subida hasta los 720 metros de altura. A los 10
kilómetros baja hasta los 680 metros de altura. A los 15 kilómetros vuelve a bajar hasta los
640 metros de altura. A los 20 kilómetros, sube hasta los 670 metros de altura. A los 25 kilómetros
sigue subiendo hasta los 720 metros de altura. A los 33 kilómetros baja hasta los 645 metros
de altura. A los 36 kilómetros sube hasta los 700 metros de altura.
