PARTE 1 (CONCEPTOS BÁSICOS)
1. ¿Cómo puedes expresar la relación entre dos magnitudes como, por ejemplo, la masa y el volumen de un cuerpo?
Puedo expresar la relación entre dos magnitudes con :
Una fórmula.
Ejemplo: 3x = y
Una gráfica.
Ejemplo:
Una tabla.
Ejemplo:
Lenguaje natural.
Ejemplo: La altura de un árbol es el doble que el de al lado.
2. ¿Qué es una función? ¿De qué formas pueden expresarse las relaciones entre magnitudes? Pon ejemplos de funciones de la vida cotidiana; puedes buscar en revistas, periódicos, etc. En las figuras siguientes tienes 3 ejemplos:
Una función es la relación que hay entre dos magnitudes.
Puedo expresar las relaciones entre magnitudes de distintas maneras: por fórmulas, gráficas, tablas, lenguaje natural...
Algunos ejemplos de funciones en la vida cotidiana son:
3. ¿Qué es la tasa de variación de una función? ¿Qué valores toma para las funciones crecientes y decrecientes? Puedes utilizar ejemplos gráficos para responder.
La tasa de variación de una función, también llamada TV, es el número que representa el aumento o disminución que experimenta la función al aumentar la variable independiente de un valor (x1) a otro valor (x2).
Para calcular la tasa de variación lo que tenemos que hacer es dividir "b roja" (la vertical del triángulo) entre "a roja" (la horizontal del triángulo).
Para calcular la tasa de variación lo que tenemos que hacer es dividir "b roja" (la vertical del triángulo) entre "a roja" (la horizontal del triángulo).
Los valores que toma para las funciones crecientes son:
Y los valores que toma para las funciones decrecientes son:
4. Utilizando la representación gráfica de una o varias funciones, explica las diferencias entre máximos y mínimos absolutos y relativos.
La diferencia entre máximo / mínimo absoluto y relativo es que en el máximo o mínimo absoluto, la ordenada de la función, es mayor o igual en cualquier otro punto del dominio de la función, mientras que en el máximo o mínimo relativo, la ordenada de la función es mayor o igual que a otros puntos.
Es decir, el máximo absoluto es el punto más alto de la función. El mínimo relativo es el punto más bajo de la función. El máximo relativo es un punto alto de la función, pero no el máximo. El mínimo relativo es un punto bajo, pero no el que más.
5. Representa gráficamente dos ejemplos de funciones simétricas respecto al eje de cordenadas (eje y) y respecto al origen (0,0). Explica en qué consiste cada tipo de simetría.
Respecto al eje y:
En una función simétrica respecto al eje de coordenadas (eje y) el lado derecho tiene que ser siempre igual al lado izquierdo.
Respecto al origen (0,0):
En una función simétrica respecto al eje (0,0) si trazas una línea, el lado derecho de ésta, tendría que ser igual al lado izquierdo.
6. Representa gráficamente una función periódica indicando por qué se denomina de esa forma.
Se denomina una función periódica porque es una función que cumple esta fórmula f(x+p) = f(x), siendo p el período.
7. Pon dos ejemplos, uno de función continua y otro de función discontinua. ¿Cuál es la diferencia entre ambas?
La diferencia que hay es que la función continua, se representa sin separaciones y la función discontinua, se representa con separaciones.
8. Investiga: ¿Cuál es el origen del término función?
El origen del término función es en el siglo XVII, exactamente en el año 1637, por René Descartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz. Ellos establecieron la función como "dependencia entre dos cantidades variables".
La primera función la llevo a cabo Galileo (1564- 1642) cuando tiró desde la Torre de Pisa dos bolas (una de hierro y otra de madera). Lo que pasó es que las dos llegaron a la vez, en ese momento descubrió la ley de caída de los pesos.
En el año 1748, Leonhard Euler, dió una definición más formal a la función.
PARTE 2 (ESTUDIO Y REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES)
9. Representa graficamente las funciones que se proponen indicando sus propiedades.
Elabora una tabla resumen con todas las gráficas obtenidas.
a. Función lineal creciente:
Siendo A: (-4.98, -2.74)
Siendo B: (1.48, 4.08)
b. Función lineal constante:
Siendo A: (-5, 3)
Siendo B: (5, 3)
c. Función lineal decreciente:
Siendo A: (-4, 5)
Siendo B: (4,-2)
d. Rectas paralelas:
Siendo A: (-3.48, 5) Siendo B: (5, 5)
Siendo C: (-4, 1) Siendo D: (5, 1)
e. Función cuadrática cóncava:
f. Función cuadrática convexa:
g. Investiga sobre la representación gráfica de otras funciones:
En matemáticas, la gráfica de una función es un tipo de representación gráfica que permite conocer el comportamiento de dicha función.
Las únicas funciones que se pueden trazar de forma que no varíe mediante líneas, son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas.
Las coordenadas cartesianas, también llamadas coordenadas rectangulares, son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos*.
Los espacios euclídeos son espacios geométricos en los que se satisfacen los axomas de Euclides. (Algunos ejemplos de espacios euclídeos, de dimensiones 1, 2 y 3 respectivamente. son: la recta real, el plano euclídeo, y el espacio tridimensional dela geometría euclidiana.)
(*Euclídeo esel término que se utiliza para distinguir entre espacios curvos, de espacios relacionados con la teoría de la relatividad de Eisntein).
10. Investiga sobre la representación de funciones en coordenadas polares.
Las coordenadas polares, también llamadas sistemas polares, son un sistema de coordenadas bidimensional, es decir, que tiene dos dimensiones, en el que cada punto del plano, se determina por una distancia y un ángulo. Este sistema es el más utilizado en física y en trigonometría.
Esta imagen es un ejemplo de una función en coordenadas polares:
z = x2 + y2
Este tipo de funciones, que es muy común, se conoce como paraboloide.
Un paraboloide es una cuádrica, un tipo de superficie tridimensional que se describe mediante ecuaciones.
Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos.
- Cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean del mismo signo, son paraboloides elípticos.
- Cuando los términos cuadráticos de su ecuación canónica sean de signo contrario, son paraboloides hiperbólicos.
12. Utiliza el programa que has elegido para resolver gráficamente el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas siguiente:
3x - 2y = 4
2x + 3y = 33
13. Elige un modelo de coche que disponga de motorizaciones diesel y gasolina y realiza un estudio
gráfico de la función coste que nos permita averiguar cual es el automóvil más adecuado para
nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el
precio del coche, el del combustible y el consumo combinado).
Motor de gasolina:
Modelo: Ford Focus 1.6
Combustible: gasolina.
Consumo mixto específico: 6 litros cada 100 km.
Precio de adquisición: 17.850 €
Motor diésel:
Modelo: Ford Focus 1.6
Combustible: gasoil.
Consumo mixto específico: 4.5 litros cada 100 km.
Precio de adquisición: 19.615 €
A partir de los 9000 km, te sale más rentable comprarte el coche de gasolina. Pero si vas a hacer muchos más kilómetros, te sale más rentable comprarte el coche de diesel.
gráfico de la función coste que nos permita averiguar cual es el automóvil más adecuado para
nosotros en función del número de kilómetros que recorremos anualmente. (Nota: Necesitas el
precio del coche, el del combustible y el consumo combinado).
Motor de gasolina:
Modelo: Ford Focus 1.6
Combustible: gasolina.
Consumo mixto específico: 6 litros cada 100 km.
Precio de adquisición: 17.850 €
Motor diésel:
Modelo: Ford Focus 1.6
Combustible: gasoil.
Consumo mixto específico: 4.5 litros cada 100 km.
Precio de adquisición: 19.615 €
A partir de los 9000 km, te sale más rentable comprarte el coche de gasolina. Pero si vas a hacer muchos más kilómetros, te sale más rentable comprarte el coche de diesel.
14. Interpreta la gráfica del recorrido del Maratón Popular de Madrid.
En los primeros 5 kilómetros, hay una subida hasta los 720 metros de altura. A los 10 kilómetros baja hasta los 680 metros de altura. A los 15 kilómetros vuelve a bajar hasta los 640 metros de altura. A los 20 kilómetros, sube hasta los 670 metros de altura. A los 25 kilómetros sigue subiendo hasta los 720 metros de altura. A los 33 kilómetros baja hasta los 645 metros de altura. A los 36 kilómetros sube hasta los 700 metros de altura.
En los primeros 5 kilómetros, hay una subida hasta los 720 metros de altura. A los 10 kilómetros baja hasta los 680 metros de altura. A los 15 kilómetros vuelve a bajar hasta los 640 metros de altura. A los 20 kilómetros, sube hasta los 670 metros de altura. A los 25 kilómetros sigue subiendo hasta los 720 metros de altura. A los 33 kilómetros baja hasta los 645 metros de altura. A los 36 kilómetros sube hasta los 700 metros de altura.
15. Explora el uso de SURFER en imaginary :
Bibliografía:
http://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/primero_ciencias_sociales/funciones/teoria/tasa_variacion.html
http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/derivada/1_tasa_de_variacin_media_e_instantnea_definicin_de_derivada.html
http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html
http://matema1unefacbi.blogspot.com.es/2013/03/historia-de-la-funcion-matematica.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonales
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenada
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
https://nadamasquelaverdad.files.wordpress.com/2011/03/diesel-o-gasolina.png
http://www.ieszaframagon.com/matematicas/matematicas2/derivada/1_tasa_de_variacin_media_e_instantnea_definicin_de_derivada.html
http://www.vitutor.com/fun/2/a_9.html
http://matema1unefacbi.blogspot.com.es/2013/03/historia-de-la-funcion-matematica.html
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_ortogonales
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenada
https://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_eucl%C3%ADdeo
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
https://es.wikipedia.org/wiki/Paraboloide
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